Question

高一数学竞赛题 弱弱的问一下

A=max{1,丨xy丨,丨x+y丨},B=max{1,丨x丨}×{1，丨y丨}
里面xy都是实数 求证A/B≥ （根号5-1）/ 2
跪求 谢谢了

Answer 1

你好，我是东北大学数学系大二的。
做了半个小时。
我们分几种情况来探讨并同时尽可能简化问题。
首先，B也可以写成B=max{1,丨xy丨,丨x丨，|y|},这是显然的。另外x y地位相同，也就是说x,y是对称的。最后，因为x,y可能同号也可能异号，但我们只需证明x,y异号的情况，原因是：比如说|y|>|x|,且xy同号，那么 当我们把x换成-x时（y换成-y也可以），B不会改变，而|x+y|可能不变可能变小，所以A只可能变小，A/B只可能变小，所以我们如果能把xy异号的情况都证明了，就不必再证明同号的情况了。
下面就分几种情况来证明：
不妨设y>0,x<0，|y|>|x|
由于x是负数看起来不舒服，我们把x用-x代替，这样x就是正数了。
现在原题变为 y>x>0, A=max{1，xy,y-x} B=max{1,y,xy} 证明A/B≥ （根号5-1）/ 2

1.如果y>1,0<x<1,则B=y。
①若A=1，则1>=xy,1>=y-x消去x即证得1/y>=（根号5-1）/ 2
②若A=xy，则xy>=1,xy>=y-x,即y>=1/x ,1/y>=(1-x)/x,两式相乘即可得x》=（根号5-1）/ 2

③若A=y-x,则y-x>=1,y-x>=xy,设y=kx,得x>=1/(k-1),x<=(k-1)/k消去x即可
2.如果0<x=<y<1,则结论是显然的
3.若1<x<=y,则A=xy,结论也是显然的。
4.若x，y中有至少一个是0或1，结论也是显然的。
证毕！
做了半小时，打了一小时，晕，楼主能多给点分吗？

Answer 2

我才初一，不会做
呵呵呵呵！