Question

函数f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)

“已知函数f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)为连续函数，求a，b值” 解此题中：当|x|>1时，f(x)的分子分母同时除以x^2n f(x)=lim(n→∞)(x^-1+ax^2-2n+bx^1-2n)/（x^-2n）+1 后来怎么整理的就=x^-1了？

Answer 1

f(x)=lim(n趋近于无穷)（x^(2n-1)+ax^2+bx)/(x^2n+1)
当|x|<1时，
n趋近于无穷，x^（2n-1）、x^2n趋近于0，此时f(x)=ax^2+bx
当|x|=1时，
x=1时，f(x)=(a+b+1)/2
x=-1时，f(x)=(a-b-1)/2
当|x|>1时，f(x)的分子分母同时除以x^2n
f(x)=lim(n趋近于无穷)[1/x+a/x^(2n-2)+b/x^(2n-1)]/[1+1/x^2n]
1/x^（2n-2）、1/x^（2n-1）、1/x^2n趋近于0，此时f(x)=1/x
因此，需考虑-1和1这两个点是否连续，即：
当x负向趋于-1时，1/x=-1；
当x正向趋于-1时，ax^2+bx=a-b
所以，a-b=(a-b-1)/2=-1，即a-b=-1
同理，考虑趋于1的情况可得：a+b=(a+b+1)/2=1^-1=1，即a+b=1，
因此，a=0,b=1。

Answer 2

n→∞时
|x|<1时,[x^(2n-1)+ax^2+bx]/(x^2n+1)
→[0+ax^2+bx]/(0+1)=ax^2+bx;
x=1时[x^(2n-1)+ax^2+bx]/(x^2n+1)
→(1+a+b)/2,
x=-1时[x^(2n-1)+ax^2+bx]/(x^2n+1)的极限不存在，题目有误。