Question

m∧2+n∧2=12，求m+n最小值

Answer 1

m∧2+n∧2=12，求m+n最小值
解：设 m+n=t ，则 m=t-n ，
代入得 (t-n)^2+2n^2=12 ，
化简得 2n^2-2tn+t^2-12=0 ，
由判别式△≥0，即得4t^2-4X2(t^2-12)≥0 ，t^2≤24
解得 -2√6≤t≤2√6 ，
即 m+n 最小值为 -2√6，最大值为 2√6

Answer 2

∵(a²＋b²)/2≥［(a＋b)/2］²
即平方的平均数不小于平均数的平方
∴m＋n≤√［2(m²＋n²)］
m＋n≤√24，m＋n≤2√6
m＋n的最大值是2√6
根据对称性，m＋n的最小值是－2√6

Answer 3

∵(a²＋b²)/2≥［(a＋b)/2］²
即平方的平均数不小于平均数的平方
∴m＋n≤√［2(m²＋n²)］
m＋n≤√24，m＋n≤2√6
m＋n的最大值是2√6
根据对称性，m＋n的最小值是－2√6

Answer 4

设m²/12=sinθ
m=√12sinθ
n=√12cosθ
θ∈［-∏/2,∏/2］
m+n
=√12(sinθ+cosθ)
=2√6sin(θ+∏/4)
θ+∏/4∈［-∏/4,3∏/4］
sin(θ+∏/4)∈［-√2/2,1］
m+n∈［-2√3,2√6］

Answer 5

(m+n)^2 = 12+2mn
(m-n)^2 = 12-2mn
两式相加得：（m+n)^2 = 24-(m-n)^2 ≤ 24
-2√6 ≤ m+n ≤ 2√6
取m+n的最小值：-2√6