Question

方程式如何找等量关系

Answer 1

一元一次方程应用题是建模思想的具体运用，就是把应用题中的数量关系建立成方程模型，运用方程解决实际问题，学生通过解答这种类型的题目有助于培养自身的综合运用能力。由于受列式计算的影响，很多学生缺乏建模观念，面对实际问题感觉无从下手，不能灵活运用方程解决实际问题。教师在实际教学中要为学生灌输建模思想，并积极传授一些方法和技巧，不断提高学生解决问题的能力。本文结合笔者多年教学实践经验和具体教学实例，简要阐述了解决一元一次方程应用题的方法技巧。
一、仔细审题，找出关键
审题是解决问题的前提，在解答一元一次方程应用题时，有很多学生在审题时不能够深入题目，对题目内容理解得模棱两可或者不到位，找不到解决问题的关键，这种不够深的审题导致很多学生无法找到解决问题的切入点，常常会使问题陷入僵局，究其原因，是因为学生在解答这种类型的题目时缺乏必要的审题方法与技巧，从而影响到学生的审题效果，导致学生在做题时出现不应有的失误。因此，在教学这部分内容时，教师必须给学生传授一些审题方面的技巧，让学生明白审题并不是单纯意义上的阅读，而是要通过阅读找到题目中的关键词、关键句，只有抓住这些关键之处，才能为顺利解决问题打下坚实的基础。
如，“假期到了，小华和表哥小明约好去骑车旅行，他们计划各自从自己的家出发碰面，已知小明骑车的速度是每小时50公里，小华骑车的速度是每小时40公里，并且两家在相距150公里的直线上。如果两人同时出发，相向而行，则经过多少小时两人车相距30公里？”这是一道非常普通的行程类应用题，学生在阅读时对于题目中的数量非常容易理解，也不会混淆，但是在实际解决问题时仍然有些学生出现了错误，通过对学生的错因分析，主要是因为学生审题不够仔细，没有正确理解题目中的关键词“相距”，这种由于审题不清造成的错误实际上是可以避免的。通过阅读分析，教师要引导学生找出此题中的关键词句应是“两人相距30公里”，很多学生理解为“两人还差30公里就要相遇”，但是在实际运用中“两人相距30公里”包括“两人相遇前的相距”和“两人相遇后的相距”两种情况，本题到底是哪种形式的相距，很多学生搞不清，这时教师可以画出两车的运行图，让学生结合运行图理解和分析，很容易就会发现这两种情况都成立，从而顺利解决问题。
二、按照需要，灵活设元
应用题是让学生运用所学的数学知识解决实际生活中的一些问题，在这种类型的题目中蕴含着许多错综复杂的数量关系， 如何将这些错综复杂的数量表示出来是解决问题的关键，而要具体表示这些数量，往往需要根据题意设未知数，也就是设元。而设元也有一定的技巧，设元并不仅仅是问什么设什么，问什么设什么仅仅是设元的一种，除了这种直接设元的方法外，还有间接设元的方法，多设元少设元等方法，这些方法需要根据问题的实际灵活选择，如果我们让学生掌握设元的方法和技巧，就能够使问题的解决事半功倍。但是正确选择合适的设元方法解决一元一次方程实际问题对于初学者来说有一定的难度，这就需要我们教师在教学这部分内容时教会学生正确灵活地设元。
如，“小明在指导弟弟做作业时发现了这样一个有趣的两位数，这个两位数的个位数字与十位数字的4倍相等，如果他将这个两位数个位与十位上的数字对换位置，则对换后的两位数要比原来的两位数大54，这个两位数是多少？”对于这一问题如果学生不仔细地分析，直接设原两位数是x，这必定会使问题的解决陷入困境，这时，教师可以引导学生分析个位和十位之间有什么关系，学生通过认真分析发现组成这个两位数个位和十位上的数字之间为4倍关系，可设十位上的数字为x，从而根据题意很容易就能知道个位数字为4x，可以用含有x的式子表示出这个两位数为10x+4x=14x，而新的两位数可以表示为：40x+x=41x，再根据题目中给出的关系列出方程：41x-14x=54，这样就可以比较容易地解决问题。由此可见，设元对于列方程解应用题至关重要，只有合理地设元，才能为后面顺利解决问题提供便利。
三、加强训练，构建代数式
将题目中的未知数量通过代数式的形式表示是审题和正确设元之后的重要环节，也是列方程的关键步骤，只有熟练地构建代数式才能合理地列出方程。但是有很多学生缺乏这方面的能力，从而导致无法列方程解应用题，这就需要教师在教学时对列代数式的内容加强训练，首先，可以训练学生对只含有一次结果的普通数学语言和代数式之间的直译，通过这样的训练为列方程扫除障碍，打下基础；其次，可以让学生尝试设未知数，并用含未知数的式子表示另一个数，初步感知列代数式的方法和技巧；最后，通过具体的应用题让学生设未知数，并用含未知数的代数式表述多个复杂的量，体会特殊到一般、实际到抽象的过程。
如，“小花家现有60米长的护栏，打算要用它围一块长方形的鸡圈，根据地块的实际，需要围成的长方形的长要比宽的2倍少3米，你能帮助她求出这个鸡圈的面积吗？”学生要想利用列方程解决好这一问题，必须首先设出未知数，将题目中涉及的数量用含未知数的代数式表示出来，通过对题目分析可以发现要想求长方形的面积，必须知道长方形的长和宽，因此，可以先让学生设长方形的长为x米，根据护栏总长60米，可以用含有x的代数式表示出长方形的宽为30-x米，再根据长比宽的2倍少3米可以列出长的另一种代数式为[2（30-x）-3]米，从而列出一元一次方程[2（30-x）-3]=x，这样就可以使应用题迎刃而解。由此可见，列代数式是用方程解决实际问题的关键，教师必须加强学生这方面的能力培养，只有这样，才能达到化繁为简、化难为易，顺利解决问题的目标。
四、深入分析，找等量关系
探求数量之间的关系是列方程解决实际问题的突破点和关键点，这需要教师对学生进行合理的方法指导，让他们学会在题目中准确地找出等量关系。首先，要让学生明确数量关系是蕴含在题目的一些句子或公式之中的，数量关系的个数可能只有一个，也可能有几个；其次，要教会学生利用应用题中的关键性语句找等量关系的方法，教师可以结合具体的例题，通过一步步的演示，让学生掌握在各种不同类应用题中快速准确地找等量关系的方法；最后，学生根据在题目中找到的等量关系列出方程，从而完美地解决一元一次方程应用题。
如“有人要从阳朔坐船到桂林去旅游，去时逆水用了3小时，来时顺水用了2小时，假如来去水流的速度都是3千米/时，你能求出阳朔距离桂林有多远吗？”此题中的等量关系不明确，通过仔细分析发现这之间的距离是一个不变量，顺水和逆水行驶的时间又知道，只需知道顺水和逆水的速度即可，而题目中已给出水流速度3千米/时，根据以前学习过的水流速度、逆水速度和顺水速度三者之间的关系，则可以得出顺水速度为（x+3）千米/时，逆水速度为（x-3）千米/时，最后根据公式：路程=速度×时间，两码头之间的距离可表示为2（x+3），也表示为3（x-3），从而列出方程2（x+3）= 3（x-3），使此题得到圆满解答。
总之，一元一次方程应用题是初中数学教学的重要内容，对于培养学生的综合运用能力具有重要意义。教师要注重解题技巧的指导，让学生全面地掌握解答一元一次应用题的具体方法，从而不断提升做题的效率，让这种类型的题目不再成为学生数学学习中的“拦路虎”。