Question

如何证明柯西不等式的积分形式?

Answer 1

比较常用的是判别式法。

构造$(f(x)-tg(x))^2>=0展开后关于t的二次函数利用判别式<=0得证 

设f(x),g(x)在区间[a,b]可积，a≤b

∵对任意t∈R，有(tf(x)-g(x))²≥0

=>∫[a,b](tf(x)-g(x))²dx≥0

=>t²∫[a,b]f²(x)dx-2t∫[a,b]f(x)g(x)dx+∫[a,b]g²(x)dx≥0

记A=∫[a,b]f²(x)dx，B=2∫[a,b]f(x)g(x)dx，C=∫[a,b]g²(x)dx

则上式变为At²-Bt+C≥0，对任意t∈R成立

∴该二次函数判别式△=B²-4AC≤0

即(∫[a,b]f(x)g(x)dx)²≤(∫[a,b]f²(x)dx)(∫[a,b]g²(x)dx)

注：这里若a>b，该积分不等式也成立，只需把a,b交换证明即可。

扩展资料：

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（对称性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（传递性）

③如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z；（加法原则，或叫同向不等式可加性）

④ 如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；（乘法原则）

⑤如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；(充分不必要条件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

⑦如果x>y>0，xn>yn（n为正数)，xn<yn（n为负数）;

参考资料来源：百度百科-不等式