Question

一道高数极限题求助

Answer 1

原式=lim(x→0)[∫(0,2x)丨x-t丨sintdt]/[x(1-cosx)]。
而，∫(0,x)丨x-t丨sintdt+∫(x,2x)丨x-t丨sintdt=∫(0,x)(x-t)sintdt-∫ (x,2x)(x-t)sintdt=x∫(0,x)sintdt-∫(0,x)tsintdt-x∫(x,2x)sintdt+∫(x,2x)tsintdt。
属“0/0”型，再连续2次洛必达法则，原式= lim(x→0)(2sinx+4xcos2x)/(2sinx+xcosx)=2。
供参考。

Answer 2

∫ ( 1- t/x) sint dt
= -cost - (1/x)∫ ( tsint dt
y= 1-2cosx+cos2x - (2/x)∫ (0->x) tsint dt +(1/x)∫(0->2x) tsint dt
y'
=2sinx -2sin2x -2sinx +(2/x^2)∫ (0->x) tsint dt +4sin(2x)-(1/x^2)∫(0->2x) tsint dt
= 2sin2x +(2/x^2)∫ (0->x) tsint dt -(1/x^2)∫(0->2x) tsint dt
//
lim(x->0) ∫(0->2x) | 1- t/x| sint dt /(1-cosx)
=2lim(x->0) ∫(0->2x) | 1- t/x| sint dt / x^2
=2lim(x->0) [∫(0->x) | 1- t/x| sint dt +∫(x->2x) | 1- t/x| sint dt ]/ x^2
=2lim(x->0) [∫(0->x) ( 1- t/x) sint dt -∫(x->2x) ( 1- t/x) sint dt ]/ x^2
=2lim(x->0) [ (1-cosx) - (1/x)∫ (0->x) tsint dt + cos2x-cosx +(1/x)∫(x->2x) tsint dt ]/x^2
=2lim(x->0) [1-2cosx+cos2x - (1/x)∫ (0->x) tsint dt +(1/x)∫(x->2x) tsint dt ]/x^2
=2lim(x->0) [1-2cosx+cos2x - (2/x)∫ (0->x) tsint dt +(1/x)∫(0->2x) tsint dt ]/x^2
洛必达
=2lim(x->0) [ 2sin2x +(2/x^2)∫ (0->x) tsint dt -(1/x^2)∫(0->2x) tsint dt ]/(2x)
=lim(x->0) [ 2sin2x +(2/x^2)∫ (0->x) tsint dt -(1/x^2)∫(0->2x) tsint dt ]/x
=4+lim(x->0) [ (2/x^2)∫ (0->x) tsint dt -(1/x^2)∫(0->2x) tsint dt ]/x
=4+lim(x->0) [ 2∫ (0->x) tsint dt -∫(0->2x) tsint dt ]/x^3
洛必达
=4+lim(x->0) [ 2xsinx -4xsin2x ]/(3x^2)
=4+lim(x->0) [ 2x^2 -8x^2 ]/(3x^2)
=4 -2
=2