Question

高中三角函数

求函数y=sinx/2+cosx的单调区间

Answer 1

y=sinx/2+cosx
=sin(x/2)+1-2sin²(x/2)
=-2sin²(x/2)+sin(x/2)+1
=-2[sin(x/2)-1/4]²+9/8
因为 sin(x/2)∈[-1,1]
又函数在 [-1,1/4]上是增得
在 [1/4,1]上是减得
令u=sin(x/2)
u=1/4 得 x=2kπ+arcsin(1/4)
u=-1 得 x=2kπ-π/2
u=1 得 x=2kπ+π/2
因为函数u=sin(x/2)在 [2kπ-π/2,2kπ+arcsin(1/4)]是增的
在 [2kπ+arcsin(1/4),2kπ+π/2]是增得

所以函数y的增区间为 [2kπ-π/2,2kπ+arcsin(1/4)]
减区间为 [2kπ+arcsin(1/4),2kπ+π/2]

Answer 2

y=sinx/(2+cosx)
={2sinx/2cos(x/2)} / {sin^2(x/2)+3cos^2(x/2)}
=2tan(x/2) / (tan^2(x/2)+3)

注:sin^2(x/2)表示sin(x/2)的平方,tan^2(x/2)同理