Question

圆周率是怎么计算出来的？

Answer 1

    文王拘而演《周易》，仲尼厄而作《春秋》，左秋失明，厥有国语，屈原放逐，乃赋《离骚》。在家没事儿干，以一篇《圆周率是怎么计算出来的？》开始我的。

一、只要一个圆的半径是确定的，那么它的周长就是确定的。

    因为AB/AB'=BC/B'C'，AB和AB'刚好是这个圆的半径R，所以，圆弧的长度与圆的半径成正比。假设正比的比例因子为 ，可以设：

                       

二、圆弧的长度可以用边长无限小的多边形来逼近。

    第一次逼近用 位置的圆弧的切线来逼近。

    很明显可以算出切线的长度为 ，那么圆周长度的第一次逼近为 。

    因为 ，那么此时有 ，误差比较大。

    第二次逼近，图3所绘的三角形为等腰直角三角形，其一条直角边为 ，红线所在的三角形同样是等腰直角三角形，可以很轻松的知道红线所在三角形的直角边的边长为 ，同时也是红线的长度。

    此时圆周长度相当于16条红线的长度 ，又因为公式 ，所以 ，可以看出误差小了很多。

    第三次逼近，用 位置圆弧的切线来逼近，三条红线构成一个直角三角形。

    1. 

    2. （因为 ， ）

    3. （因为OBZ为直角三角形）

    由公式3知道

    4.  。

    由公式1知道 ，再将公式2带入本公式得到：

   

    

    那么此时圆周长度相当于32条AC的长度，又因为 ，所以 ，又逼近了一点。