Question

矩阵的秩 r(AB)与r(A+B)与r(A,B)有什么关系

Answer 1

r(A,B)>=r(A+B)
r(A,B)>=r(B)>=r(AB)
r(AB)与r(A+B)没有直接关系.
第一个不等式,将矩阵写成列向量形式[a1,a2,...,an,b1,b2...,bn]和[a1+b1,a2+b2,...,an+bn]
明显看到后面矩阵n个向量中的每个向量都是前面矩阵2n个向量的线性组合,就是后边矩阵的列向量组可以被前边矩阵的列向量组线性表出.
由线性表出关系可知,前边向量组的基大于后边向量组的基.向量组的基就是矩阵的列向量构成的基,也就是矩阵的列秩等于矩阵的秩.得证.
第二个不等式,前半部分同上.后半部分,AB写成[a1,a2,...,an]B,那么根据矩阵乘法AB的每一列都是[a1,a2,...,an]的线性组合,都能够被其表出.又同上.
证法2：前半部分同上显然.后半部分Bx=0的解x都使得ABx=0,因此根据线性方程组解的性质
n-r(B)=r(AB).
第三个没关系的反例：当A=0,B可逆时r(AB)=0,r(A+B)=n.当A=-B可逆时,r(AB)=n,r(A+B)=0.由此可见,大小不定.