Question

求一大学数学问题解答

题目是：若limXn=a,证limIXnI=IaI。并举反例说明反之不一定成立。【lim下有n—∞】

Answer 1

若limXn=a则对于任意的正数s>0,存在自然数p,对于任意的n,m>p,|Xn-a|<s.
|Xn-Xm|<s

取任意的m,n>p
||Xn|-|a||=||Xn|-|Xm|+|Xm|-|a||<=||Xn|-|Xm||+||Xm|-a|<2s

证毕

举例：Xn=arctg n(n是奇数），Xn=arctn (-n)(n是偶数）
|Xn|=arctg n
lim |Xn|=pi/2
而当为奇数的N趋于无穷大时，XN趋于PI/2
当为偶数的N趋于无穷大时，XN趋于-PI/2