已知|a|≤1，|b|＜1，|c|＜1，求证：abc＋2＝a＋b＋c．
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答案：
解析：
证明：把所证不等式变形为 (bc－1)a＋2－b－c＞0 记y＝(bc－1)a＋2－b－c，y是a的一次函数， ∴|a|≤1， ∴自变量a的取值范围是－1≤a≤1； ∵|b|＜1，|c|＜1， ∴bc＜1，bc－1＜0． ∴在定义域内，y随a的增大而减小． 当a取1时，y有最小值 bc－1＋2－b－c＝bc－c－b＋1＝(b－1)(c－1)， 而(b－1)(c－1)＞0， ∴函数y＝(bc－1)a＋2－b－c在定义域内都大于0， 即(bc－1)a＋2－b－c＞0， 所以abc＋2＞a＋b＋c．
分析：
直接不能清晰证明，分情况讨论又很复杂，只能另想它法．若把原不等式整理变形，构造某一字母的一次函数，用函数的性质进行研究，问题变得别开生面． 说明：构造一次函数，利用函数的性质进行研究，使问题巧妙获解．
解析：
证明：把所证不等式变形为 (bc－1)a＋2－b－c＞0 记y＝(bc－1)a＋2－b－c，y是a的一次函数， ∴|a|≤1， ∴自变量a的取值范围是－1≤a≤1； ∵|b|＜1，|c|＜1， ∴bc＜1，bc－1＜0． ∴在定义域内，y随a的增大而减小． 当a取1时，y有最小值 bc－1＋2－b－c＝bc－c－b＋1＝(b－1)(c－1)， 而(b－1)(c－1)＞0， ∴函数y＝(bc－1)a＋2－b－c在定义域内都大于0， 即(bc－1)a＋2－b－c＞0， 所以abc＋2＞a＋b＋c．
分析：
直接不能清晰证明，分情况讨论又很复杂，只能另想它法．若把原不等式整理变形，构造某一字母的一次函数，用函数的性质进行研究，问题变得别开生面． 说明：构造一次函数，利用函数的性质进行研究，使问题巧妙获解．
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2025-02-09 广告
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