一个向量组的极大线性无关组一定可以线性表示这个向量组中其余向量吗
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当然.可以证明.
假设向量组的极大无关组是x1、x2、……xi.这个向量组有另外一个向量m.
因为x1、x2、……xi是极大无关组,所以m、x1、x2……xi是线性相关的.（极大无关组的定义）
即至少有一组不全为0的系数组k、k1、k2……ki使得km+k1x1+k2x2+……+kixi=0
假设k=0,那么系数组就是k1、k2……ki不全为0,且k1x1+k2x2+……+kixi=0,这和x1、x2、……xi是极大无关组矛盾.
所以k≠0.
所以m=（-k1/k）x1+（-k2/k）x2+……+（-ki/k）xi
即m能用x1、x2、……xi线性表示.
假设向量组的极大无关组是x1、x2、……xi.这个向量组有另外一个向量m.
因为x1、x2、……xi是极大无关组,所以m、x1、x2……xi是线性相关的.（极大无关组的定义）
即至少有一组不全为0的系数组k、k1、k2……ki使得km+k1x1+k2x2+……+kixi=0
假设k=0,那么系数组就是k1、k2……ki不全为0,且k1x1+k2x2+……+kixi=0,这和x1、x2、……xi是极大无关组矛盾.
所以k≠0.
所以m=（-k1/k）x1+（-k2/k）x2+……+（-ki/k）xi
即m能用x1、x2、……xi线性表示.
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2025-02-09 广告
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