Question

已知函数f(x)满足对任意实数x,y都由f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(—2)=—2

Answer 1

1.令x=y=0,f(0)=2f(0)+1,则f(0)=-1
令x=-2,y=2,f(0)=f(-2)+f(2)-4+1,f(2)=4
令x=y=1,f(2)=2f(1)+1+1,f(1)=1.
2.f(t)=f(t-1+1)=f(t-1)+f(1)+t-1+1=f(t-1)+t
x>0时f(x)>0(这很容易看得出来） 所以f(t)>t
3.由1指,f(1)=1,当t>1时,由2知,f(t)=f(t-1)+t,当 x>0时f(x)>0,所以 f(t)>t
由题目条件知,f(-2)=-2,那么f(-2)=2f(-1)+2,则f(-1)=-2
当t=f(t+1)>=f(-1)=-2
所以只能有f(-2)=-2
所以只有t=-2和t=1满足条件