Question

求极限lim(x→0)∫(0→x^2)(e^t-e^(-t))dt/1-cosx^2，感谢回答。

Answer 1

要求出这个极限，我们需要先将原式进行一些处理。
首先，我们把分母中的1-cosx^2拆开，得到：
lim(x→0)∫(0→x^2)(e^t-e^(-t))dt/(1-cosx^2)
= lim(x→0)∫(0→x^2)(e^t-e^(-t))dt/(1-cos^2x^2)
= lim(x→0)∫(0→x^2)(e^t-e^(-t))dt/(sin^2x^2)
接下来，我们用幂级数的和公式把分子中的e^t和e^(-t)拆开，得到：
lim(x→0)∫(0→x^2)(e^t-e^(-t))dt/(sin^2x^2)
= lim(x→0)∫(0→x^2)[(1+t+t^2/2+t^3/3!+...) - (1-t+t^2/2-t^3/3!+...)]dt/(sin^2x^2

追问

结果还能简化吗？

Answer 2

洛必达法则
分子求导得到2x(e^(x^2)-e^(-x^2))=2xe^(x^2)(1-e^(-2x^2) ~ 2x * 2x^2 =4x^3
分母求导得到2sin(x^2)~2x^2
极限为0