Question

拉格朗日定理如何证明

Answer 1

罗尔定理可知。
fa=fb时，存在某点e，使f′e=0。
开始证明拉格朗日。
我们假设一函数fx。
目标：证明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。
我们假设fx来做成一个毫无意义的函数，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我们也不知道他能干啥，是我们随便写的一个特殊函数，我们令它等于Fx。
这个特殊函数在于，这个a和b，正好满足Fb=Fa，且一定存在这个a和b。
此时我们就有罗尔定理的前提了。
于是得出有一个e，能让F′e=0(罗尔定理)
即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，
上面求导等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。
将唯一的x带换成e，并且整个式子等于0。
变成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→
f′e=(fb-fa)/(b-a)→
f′e(b-a)=(fb-fa)。
完毕。