Question

∫f(x)dx=什么?

Answer 1

具体回答如下：

令u＝tanx/2

则sinx＝2u/(1＋u²)

cosx＝(1－u²)/(1＋u²)

dx＝2du/(1＋u²)

∫1/(sinx＋cosx)

＝∫2/(1＋2u－u²)du

＝√2/2∫［1/(u－(1－√2))－1/(u－(1＋√2))］du

＝√2/2ln|(u－(1－√2))/(u－(1＋√2))|＋C

＝√2/2ln|(tanx/2－1＋√2)/(tanx/2－1－√2)＋C

不定积分的意义：

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数，因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数，也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。