Question

matlab中用最小二乘法拟合直线怎么做？

Answer 1

最小二乘法，通常用在我们已知数学模型，但是不知道模型参数的情况下，通过实测数据，计算数学模型，例如，在题目中，数学模型就是直线方程y=ax+b，但是不知道直线方程的a和b。

本来呢，我们只需要两组（xi,yi），就可以解得a和b，但是由于实测数据都存在误差，所以，我们很容易想到一个办法，我们测很多组数据来让我的a和b更加准确。

• 数学模型如下：

• F=ax+b-y
  

• 那么对于模型上的点(注意是模型上的点，也就是理论值)，F=ax+b-y=0
  

• 但是对于实际值来说，F=axi+b-yi 一定不等于0。那么我们就要找到一对a和b，使得F尽可能接近于0。

• 也就是说，“偏离量总和最小”这个概念，在数学上实际上就是要求F的方差最小。

• 即 Σ F^2→0 （F的平方和趋近于0）

• 即 Σ(axi+b-yi)^2→0

• 那么我们得到一个方程f(a,b)=Σ(axi+b-yi)^2，我们要找到合适的a,b使得f(a,b)最小！\t也就是说，我们要找到的实际上是f(a,b)的最小值点。（因为方差不可能小于0）\t因此我们需要求f(a,b)的极值点。我们借助数学工具偏导。\t如果有一组a,b使得\t ∂f(a,b)/∂a=0

• ∂f(a,b)/∂b=0

• 那么f(a,b)就是极值点，如果a,b只有一对，那么它就是最小值点。\t即  ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂a=0

• ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂b=0\t化简得到

• a*Σxi^2 + b*Σxi = Σ(xi*yi)

• a*Σxi + b*N = Σyi

• 其中N是(xi,yi)的个数。即我们测了多少组数据

• 解上面的二元方程，我们就可以得到唯一的一组a,b啦，这就是我们所需要的a和b