Question

如何求由p=3cosθ和p=1+ cosθ所围成的图形的面积

Answer 1

由p=3cosθ和p=1+cosθ所围成的图形的面积为S=(5/4)π-(9/8)(√3-1) 。

解题过程如下：

由极坐标转化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ。

可以得到x²+y²=（ρcosθ)²+(ρsinθ)²=ρ²(cos²θ+sin²θ)=ρ²。

由ρ=3cosθ，等式两边同时ρ，即可得到ρ²=3ρcosθ。

又ρ²=x²+y²，ρcosθ=x。

故ρ=3cosθ可以转化为方程x²+y²=3x。

x²+y²=3x转化为(x-3/2)²+y²=9/4，是一个圆心在(3/2,0)，半径为R=3/2的圆，其在极点(原点)处的切线是y轴。

所以，阴影部分对称，所以可以先求一半的面积，乘以2就可以得到整个阴影部分面积。

用S表示整个阴影部分面积，阴影上半部分的面积为S/2，求解如下：

S/2=【D】∫∫ρdρdθ

=【0,π/3】∫dθ【0,1+cosθ】∫ρdρ+【π/3,π/2】∫dθ【0,3cosθ】∫ρdρ

=【0,π/3】(1/2)∫(1+cosθ)²dθ+【π/3,π/2】(9/2)∫cos²θdθ

=【0,π/3】(1/2)∫(1+2cosθ+cos²θ)dθ+【π/3,π/2】(9/4)∫(1+cos2θ)dθ

=(1/2)[θ+2sinθ+(1/2)θ+(1/4)sin2θ]【0,π/3】+(9/4)[θ+(1/2)sin2θ]【π/3,π/2】

=(1/2)[(π/3)+√3+(π/6)+(√3/8)]+(9/4)[(π/2)-(π/3)-(√3/4)]

=(1/2)[(π/2)+9/8)(√3)]+(9/4)[(π/6)-√3/4)]

=(5/8)π-(9/16)(√3-1)

即阴影部分面积S=(5/4)π-(9/8)(√3-1) 。