Question

积分中值定理的证明？

Answer 1

设你所要求的积分为a，
令
b＝
∫
e^(-x^2)dx
积分区间为负无穷到正无穷，
又
b＝
∫
e^(-y^2)dy
积分区间为负无穷到正无穷
被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数，所以a=b/2
b^2=
(∫
e^(-x^2)dx)*(∫
e^(-y^2)dy)
=
∫
∫
e^(-(x^2+y^2))dx
dy
将上述积分化到极坐标中，
x^2+y^2=r^2
∫
∫
e^(-(x^2+y^2))dx
dy
=
∫
∫
r
e^(-r^2)dr
dθ
r从0到正无穷，θ从0到2π
=
∫
1/2
dθ
θ从0到2π
=
π
所以b＝√π
所以你要求的原积分就是
b/2
=
√π
/2
当然，你要是知道b＝
∫
e^(-x^2)dx
这个积分是泊松积分，而泊松积分的值就等于√π的话，这道题目的答案不用计算就知道是√π/2，泊松积分这样的常用积分的值你如果能记住的话，对快速解题很有帮助。
泊松积分的计算有两种方法，上面的是把积分化成二重积分来计算，还有一种方法同上面的方法差不多，是把该积分化成喊参变量的积分后再通过夹逼准则来计算，具体你有兴趣的话可以去翻一下有关的高数和数分的教科书。