Question

二次函数f(X)=3ax^2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)*f(1)>0求证,(1) -2<b/a<-1 ( 2 )设x1,x2是方程f(x)=0的两个实根

则√3/3<=|x1-x2|<1

Answer 1

证：（1）由f(0)*f(1)>0知，c(3a+2b+c)>0.
因a+b+c=0得c=-(a+b），则c(3a+2b+c)=-（a+b）(2a+b)>0,)（a+b）(2a+b)<0
当a>0,b<0时 ，2a+b>0,a+b<0可得 -2<b/a<-1;
当a<0,b>0时 ，2a+b<0,a+b>0可得-2>b/a>-1,不存在故舍去（同理可知a>0,b>0;a<0,b<0亦应舍去）.
即证得-2<b/a<-1
（2）由题意可知：x1+x2=-2b/3a,x1*x2=c/3a且△=4b²-4*3a*c=3(a+1/2b)²+1/4b²>0则
|x1-x2|=√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(4b²／9a²-4c／3a)
＝√[4b²／9a²+4(a+b)／3a]
＝√[(2b／3a＋1)²+1/3]
由-2<b/a<-1知，0<=(2b／3a＋1)²<2/3
所以√3/3<=|x1-x2|<1

Answer 2

证明：
（1）由于f(X)为二次函数，所以a≠0
设b/a=t,则b=at,而a+b+c=0，所以c=-b-a=-at-a
f(0)=c,f(1)3a+2b+c
所以c*（3a+2b+c）>0，将b=at，c=-b-a=-at-a代入得
（-at-a）*(3a+2at-at-a)>0
a^2*(t+1)*(t+2)<0 两边除以a^2
(t+1)*(t+2)<0 所以-2<t<-1即-2<b/a<-1

（2）由一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=-2b/3a,x1*x2=c/3a
（x1-x2）^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4b^2/9a^2-4c/3a
再将b=at，c=-b-a=-at-a代入得
（x1-x2）^2=(4/9)*t^2+4t/3+4/3=(4/9)*(t+3/2)^2+1/3
由于-2<t<-1所以上式取值范围为【1/3，4/9）
即1/3≤（x1-x2）^2<4/9
所以√3/3≤|x1-x2|<2/3<1