Question

不定积分∫1/sinxdx的值是什么?

Answer 1

解答如下：

∫cscx dx

=∫1/sinx dx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)] d(x/2)

=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2) d(x/2)

=∫1/tan(x/2) d[tan(x/2)]（∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C）

=ln|tan(x/2)|+C

扩展资料：

定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

我将逐步详细描述解决$\int\frac{1}{\sin x}dx$这道题的方法。
我们知道$\sin x=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$（$i$是复数中的虚数单位）。所以$\frac{1}{\sin x}=\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}$
接着对$\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}$进行分步积分。
首先计算$\int\frac{1}{e^{ix}-e^{-ix}}dx$
$$ \begin{align*} \int\frac{1}{e^{ix}-e^{-ix}}dx&=\int\frac{1}{i(e^{ix/2}-e^{-ix/2})}\times\frac{i}{2}dx\ &=\int\frac{-1}{i(e^{ix/2}+e^{-ix/2})}\times\frac{i}{2}dx\ &=\int\frac{-1}{(e^{ix/2}+e^{-ix/2})}dx\ &=\int\frac{-1}{cos\frac{x}{2}+i\sin\frac{x}{2}}dx\ &=\int\frac{-1}{cos\frac{x}{2}}\times\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}dx \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \int\frac{-1}{cos\frac{x}{2}}\times\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}dx&=\int\frac{-1}{cos\frac{x}{2}}\times\frac{1}{cos^2\frac{x}{2}}dx\ &=\int-\frac{cos\frac{x}{2}}{1+tan^2\frac{x}{2}}dx\ &=-\int d(\tan\frac{x}{2})\ &=-\tan\frac{x}{2}+c \end{align*} $$
然后我们计算$\int\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}dx$
$i$只是一个系数$\int\frac{2i}{e^{ix}-e^{-ix}}dx=\int\frac{-i}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}dx$
$$ \begin{align*} \int\frac{-i}{e^{ix/2}-e^{-ix/2}}dx&=-\int\frac{i}{i(