齐次微分方程详细资料大全

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齐次微分方程(homogeneous differential equation)是指能化为可分离变数方程的一类微分方程,它的标准形式是 y'=f(y/x),其中 f 是已知的连续方程。求解齐次微分方程的关键是作变换 u=y/x ,即 y=ux ,它可以把方程转换为关于 u 与 x 的可分离变数的方程,此时有 y'=u+xu',代入原方程即可得可分离变数的方程 u+xu'=f(u) ,分离变数并积分即可得到结果,需要注意的是,最后应把 u=y/x 代入,并作必要的变形。

基本介绍

  • 中文名 :齐次微分方程
  • 外文名 :homogeneous differential equa-lion
  • 标准形式 :y'=f(y/x)
  • 求解关键 :作变换 u=y/x ,即 y=ux 
  • 注意事项 :最后应把u=y/x代入,并作变形
  • 套用学科 :高等数学
定义,方程特点,方程的解,求解步骤,注意事项,典例,例1,例2,

定义

形如 的一阶微分方程称为齐次微分方程,简称微分方程。

方程特点

齐次微分方程的特点是其右端项是以 为变元的连续函式。 例如, 是齐次微分方程,它可以转化为: ,即 。

方程的解

齐次微分方程通过变数代换,可化为可分离变数微分方程来求解。 令 或 , 其中 是新的未知函式,对 两边求导,则有: , 将其代入 ,得: , 分离变数,得: 两边积分,得: , 求出积分后,再将 回代,便得到方程 的通解。

求解步骤

(1)作变换 ,将齐次方程转化为分离变数的微分方程; (2)求解可分离变数的微分方程; (3)用 代替步骤(2)中所求通解中的 (即变数还原),就可以得到原方程的通解。

注意事项

如果有 ,使得 ,则显然 也是方程 的解,从而 也是方程 的解;如果 ,则方程 变成 ,这是一个可分离变数微分方程。

典例

例1

求解方程 。 解:令 ,则 , , 原方程变为: ,即 ; 分离变数可得: , 左右两端同时积分可得: , 将 代入,便可得到原方程的通解为: ,其中 C 为任意常数。

例2

求方程 的通解。 解:令 ,则 , , 原方程变为: ,即 ; 分离变数可得: , 左右两端同时积分可得: , 将 代入,便可得到原方程的通解为: ,其中 C 为任意常数。

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