Question

一道高数求极限题

求lim(cos(x/n)+asin（x/n))^n,(n趋于无穷）
罗比达法则还没学，有一种方法是变形为lim(1+1/n)^n=e（n趋于无穷）的形式

Answer 1

解：lim(n->∞)(cos(x/n)+asin（x/n))^n)
=lim(n->∞)(e^(nln(cos(x/n)+asin（x/n)))
=e^(lim(n->∞)(nln(cos(x/n)+asin（x/n))))
=e^(x*lim(n->∞)(ln(cos(x/n)+asin（x/n))/(x/n)))
=e^(x*lim(t->0)(ln(cost+asint)/t)) (用t=x/n代换)
=e^(x*lim(t->0)((acost-sint)/(cost+asint))) (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^(x*((a*1-0)/(1+a*0)))
=e^(ax)。

Answer 2

记t=cos(x/n)+asin(x/n)-1趋于0
则lim (1+t)^(1/t) = e;
nt = n·(cos(x/n)-1)+na·sin(x/n) = 2n·sin²(x/2n) + ax·[sin(x/n)/(x/n)] = (x^2/2n)·[sin(x/2n)/(x/2n)]^2 + ax·[sin(x/n)/(x/n)]
所以：lim nt = 0·1^2 + ax·1 = ax
lim (cos(x/n)+asin（x/n))^n
=lim (1+t)^n
=lim [(1+t)^(1/t)]^nt
=[lim (1+t)^(1/t)]^(lim nt)
=e^(ax)