Question

圆的切线方程公式证明

Answer 1

证明：

圆心（a,b）和切点(x0,y0)的斜率为(y0-b)/(x0-a)

所以切线的斜率为-(x0-a)/(y0-b)

因为切线过（x0,y0）

所以切线为y=-(x0-a)/(y0-b)(x-x0)+y0

整理得(x0-a)(x-x0)+(yo-b)(y-yo)=0①

因为(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2②

①②两式相加得到(x0-a)(x-a)+(yo-b)(y-b)=r^2

可知圆心为（-D/2,-E/2）

代入①式得到(x0+D/2)(x-x0)+(yo+E/2)(y-y0)=0③

因为x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F=0④

把③④相加得到x0x+y0y+D[(x+x0)/2]+E[(x0+x)/2]+F=0(问题是错误的,图片问题是正确的)

x2+y2+Dx+Ey+F=0

(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-f

所以圆心O(-D/2,-E/2),r^2=D^2/4+E^2/4-F

设A(x0,y0) 切点是B

AO^2=(x0+D/2)^2+(y0+E/2)^2

OB^2=r^2=D^2/4+E^2/4-f

OAB是直角三角形

所以AB^2=OA^2-OB^2=(x0+D/2)^2+(y0+E/2)^2-D^2/4-E^2/4+F

=x0^2+Dx0+y0^2+Ey0+F

所以切线AB长=√(x0^2+Dx0+y0^2+Ey0+F)

用勾股定理显然可得AB长=√[(x0-A)^2+(y0-B)^2-r^2]

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

扩展资料：

在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆可以表示为集合{M||MO|=r},圆的标准方程是(x - a) ² + (y - b) ² = r ²。其中，o是圆心，r 是半径。

圆形是一种圆锥曲线，由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到。圆形一周的长度，就是圆的周长。能够重合的两个圆叫等圆有无数条对称轴。圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

假设定点为A，B，动点为P，满足|PA|/|PB| = k（k≠1），过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角CPD=90°。

由角平分线定理：PA/PB = AC/BC = AD/BD =k，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。

直线和圆位置关系：

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<r。

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）

参考资料来源：百度百科——切线方程