Question

数学分析 求助

请问例七（-1）的n次方那个答案为什么分a＝1和a≠1？

Answer 1

8、（1）a(n+1)=∫((n+1)π,(n+2)π) sinx/xdx
令t=x-π，则a(n+1)=∫(nπ,(n+1)π) -sint/(t+π)dt=∫(nπ,(n+1)π) -sinx/(x+π)dx
另外，an=∫(nπ,(n+1)π) sinx/xdx
当n是奇数时，0<-sinx/(x+π)<-sinx/x，即a(n+1)>0>an
|a(n+1)|=a(n+1)
=∫(nπ,(n+1)π) -sinx/(x+π)dx
<=∫(nπ,(n+1)π) -sinx/xdx
=-an
=|an|
当n是偶数时，0<sinx/(x+π)<sinx/x，即a(n+1)<0<an
|a(n+1)|=-a(n+1)
=∫(nπ,(n+1)π) sinx/(x+π)dx
<=∫(nπ,(n+1)π) sinx/xdx
=an
=|an|
综上所述，|a(n+1)|<=|an|
（2）an=∫(nπ,(n+1)π) sinx/xdx
根据积分中值定理，存在k∈(nπ,(n+1)π)，使得：an=π*sink/k
因为nπ<k<(n+1)π，所以-1/n<=-π/k<=π*sink/k<=π/k<1/n
因为lim(n->∞)-1/n=lim(n->∞)1/n=0
根据极限的夹逼性，lim(n->∞)an=0
9、（1）[an+a(n+2)]/n=(1/n)*∫(0,π/4) [(tanx)^n+(tanx)^(n+2)]dx
=(1/n)*∫(0,π/4) (tanx)^n*[1+(tanx)^2]dx
=(1/n)*∫(0,π/4) (tanx)^n*(secx)^2dx
=(1/n)*∫(0,π/4) (tanx)^n*d(tanx)
=[1/n(n+1)]*(tanx)^(n+1)|(0,π/4)
=1/n(n+1)
=1/n-1/(n+1)
所以原级数=1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)+...
=lim(n->∞) [1-1/(n+1)]
=1
（2）由题（1）的结论，an+a(n+2)=1/(n+1)
因为数列{an}是正项数列，所以an<1/(n+1)<1/n
对任意λ>0，有an/n^λ<1/n^(1+λ)
根据p级数的性质，∑1/n^(1+λ)收敛
所以由比较判别法，∑an/n^λ收敛

Answer 2

设f(x)在[0,1]上可积，且0<=f(x)<=1,又u(x)是(0,1)上的凹函数,求证:

(1):u(f(x))>=u(x)+u'(t)(f(x)-t),其中t是(a,b)上的任意值

我们假设
u(x)=x^2
f(x)^2>=x^2+2t(f(x)-t)
对任何t属于(0,1)成立所以我可以令t=f(x)/2
那么
f(x)^2>=2x^2
f(1)不在(0,1)内，所以你的题目有问题吧！

Answer 3

因为证明过程中要取邻域半径为(1/2)*|a-1|
此时如果a=1，则邻域半径即为0，邻域不存在
所以要先讨论a=1的情况