Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>-2x的解集为(1，3）。

若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式。
若f(x)的最大值为正数，求a范围

Answer 1

解：
(1)设f(x)=ax^2+bx+c,因f(x)>-2x的解集为(1，3）
可得ax^2+（b+2)x+c>0,x=1，3是ax^2+(b+2)x+c=0两根，且a<0
所以，1+3=-（b+2)/2a,1*3=c/a
整理得:b=-8a-2,c=3a
又因f(x)+6a=0有两个相等的根，即ax^2+bx+c+6a=0有两个相等的根,
所以，b^2-4a(c+6a)=0
解得:a1=-1/7,a2=-1
所以，b1=-6/7,c1=-3/7;b2=6,c2=-3
f(x)=-1/7x^2-6/7x-3/7 或f(x)=-x^2+6x-3
(2)f(x)最大值为(4ac-b^2)/4a>0
因b=-8a-2,c=3a
所以代入解得：a无解