Question

已知f(x)是二次函数,若f(0)＝3且f(x+1)＝f(x)+2x-1,试求f(x)的表达式

Answer 1

解：设f（x）＝ax^2＋bx+c，a≠0；
∵f（0）＝3
∴c＝3
∵f（x+1）＝f（x）＋2x-1
∴a（x+1）^2＋b（x+1）＋3＝ax^2＋bx+3＋2x+1，即ax^2＋（2a＋b）x＋（a＋b）＝ax^2＋（b+2）x-1
∴2a＋b＝b+2①，a＋b＝-1②，解①与②方程组，a＝1，b＝-2
∴f（x）＝x^2-2x+3

Answer 2

设f(x)=ax^2 + bx +3
f(x+1) = a(x+1)^2 +b(x+1)+3
= ax^2 +2ax +a +bx +b +3
= ax^2 +bx +3 + 2ax +a+b = f(x)+2x-1
所以2ax = 2x, a+b=-1,所以a=1, b=-2
所以f(x)= x^2 -2x +3