Question

已知α1，α2?αr与α1，α2?αr，β有相同秩,如何证明两向量组等价？

Answer 1

证明：

设向量组I：α1，α2，...，αr，向量组II：α1，α2，...，αr，β

r(I)=r(II)=k≤r

显然向量组II能够线性表示向量组I

下面证明向量组I，能线性表示向量组II

①若r(I)=r(II)=r＜r+1

则β必然可由α1，α2，...，αr线性表示，且表示方法唯一。

②若r(I)=r(II)=k＜r

则设向量组I的一个极大线性无关组为，αi1，αi2，...，αij

则αi1，αi2，...，αij也是向量组II的线性无关向量

若αi1，αi2，...，αij，β线性无关，那么r(II)=k+1≠r(I)，与已知矛盾

则αi1，αi2，...，αij也是向量组II的极大线性无关组。

那么向量组I的极大线性无关组能够线性表示向量组II

所以向量组I能够线性表示向量组II

所以I与II等价。

【评注】

向量组等价：向量组I与向量组II能够互相线性表示，则称I，II等价。

证明向量组等价，即证明I线性表示II，再证明II线性表示I。