Question

如何判断齐次线性方程组有无穷解？

Answer 1

1、列出方程组的增广矩阵：

做初等行变换，得到最简矩阵。

2、利用系数矩阵和增广矩阵的秩：

判断方程组解的情况，R(A)＝R(A，b)＝3<4。所以，方程组有无穷解。

3、将第五列作为特解：

第四列作为通解，得到方程组的通解，过程如下图：

扩展资料：

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于  ，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：

1、形如  的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如  都算是二次项，而  算0次项，方程  中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。

2、形如  （其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次）。

“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程  就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如  称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。