Question

12.计算曲线 xy-2^x+2y=0 在 x=0 处的切线方程和法线方程？

Answer 1

曲线方程为 xy - 2^x+2y = 0。
首先，求出曲线在 x = 0 处的斜率：
y - 2^0 + 2y = 0
3y = 1
y = 1/3
当 x = 0 时，y = 1/3，所以曲线上的点为 (0, 1/3)。
然后，求出曲线在该点处的斜率：
y' = - \frac{f_x}{f_y} = -\frac{2^{x+2} - y}{x + 2y}
当 x = 0，y = 1/3 时，有：
y' = -\frac{2^{0+2} - \frac{1}{3}}{0 + 2\times\frac{1}{3}} = -\frac{5}{2}
因此，曲线在该点处的切线斜率为 -5/2。
切线方程为：
y - \frac{1}{3} = -\frac{5}{2} x
化简得：
5x + 2y - \frac{5}{3} = 0
因此，曲线在 x = 0 处的切线方程为 5x + 2y - 5/3 = 0。
接下来，求出曲线在该点处的法线斜率：
k = - \frac{1}{y'} = \frac{2}{5}
因此，曲线在该点处的法线斜率为 2/5。
法线方程为：
y - \frac{1}{3} = \frac{2}{5} (x - 0)
化简得：
2x - 5y + \frac{5}{3} = 0
因此，曲线在 x = 0 处的法线方程为 2x - 5y + 5/3 = 0。