Question

怎样求椭圆上一点到椭圆两焦点的距离之积的最大值

Answer 1

设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,其上一点为（x0,y0) （y0不等于0）
则此椭圆长轴顶点为(a,0),(-a,0)
则两连线的斜率分别为y0/(x0-a),y0/(x0+a)
乘积为y0^2/(x0^2-a^2) 式子1
又因为点在椭圆上，故有b^2x0^2+a^2y0^2=a^2b^2
即y0^2=b^2(a^2-x0^2)/a^2
代入式子1，约掉a^2-x0^2可得乘积为 -a^2/b^2
此值与该点的坐标无关，在椭圆确定时为定值。