Question

已知函数f(x)=ax^3+3x^2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。我做到最后，为什么判别式要≤0

Answer 1

既然做到最后了，那思路应该是有的吧。首先求导，导函数要≤0恒成立，才能保证在R上是减函数，即：f'=3ax^2+6x-1≤0恒成立
通过二次函数的图像分析可得：只有当开口向下，且与x轴最多只有一个交点时，才能满足上述式子恒成立，所以应满足的条件是a<0且判别式≤0

Answer 2

f(x)=ax^3+3x^2-x+1
f'(x) = 3ax^2+6x-1 < 0

for a> 0
for no real roots
△<0
36-4(3a) <0
a > 3

a>0 and a>3
=> a>3 #