Question

已知,α为锐角,sin(a-π/12)=3/5,则cos(α+π/6)=,求cos值

Answer 1

首先，将 $sin(a - \frac{\pi}{12})$ 化简：
$sin(a - \frac{\pi}{12}) = 3/5$
$sin(a)cos(\frac{\pi}{12}) - cos(a)sin(\frac{\pi}{12}) = 3/5$
$\frac{\sqrt{2}}{2}sin(a) - \frac{\sqrt{6}}{2}cos(a) = 3/5$
然后，将 $cos(α+\frac{\pi}{6})$ 化简：
$cos(α+\frac{\pi}{6}) = cosαcos\frac{\pi}{6} - sinαsin\frac{\pi}{6}$
因为 $cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$sin^2a + cos^2a = 1$，将其代入原式得：
$cos(α+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cosα - \frac{1}{2}sinα$
将上面化简出来的式子代入，得到：
$cos(α+\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}cosα - \frac{1}{2}(\frac{5\sqrt{2}}{3}sin(a) - \frac{3}{5}\sqrt{6}cos(a))$
移项整理：
$(\frac{13\sqrt{6}}{30})cosα - (\frac{3\sqrt{2}}{10})sinα = \frac{\sqrt{3}}{2}$
再次代入 $sin^2a + cos^2a = 1$：
$(\frac{13\sqrt{6}}{30})cosα - (\frac{3\sqrt{2}}{10})\sqrt{1 - cos^2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
移项整理后，得到一个关于 $cosα$ 的一元二次方程：
$(\frac{169}{180})cos^2α - (\frac{13\sqrt{3}}{15})cosα + (\frac{7}{20}) = 0$
使用求根公式解出 $cosα$ 的值，得到：
$cosα = \frac{\frac{13\sqrt{3}}{15} \pm \sqrt{(\frac{13\sqrt{3}}{15})^2 - 4(\frac{169}{180})(\frac{7}{20})}}{2(\frac{169}{180})}$
经过计算，得到两个解：
$cosα \approx 0.4683$ 或 $cosα \approx 0.6346$
因为 $α$ 是锐角，所以 $cosα$ 是正数，因此 $cosα \approx 0.6346$。
因此，$cos(α+\frac{\pi}{6}) \approx \frac{\sqrt{3}}{2}cosα - \frac{1}{2}(\frac{5\sqrt{2}}{3}sin(a) - \frac{3}{5}\sqrt{6}cos(a)) \approx 0.6339$。