Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（1/2）^X.

1,求函数f（x）的解析式；
2，写出函数f（x）的单调区间；
3，求函数f(x)的值域。

Answer 1

1.x<0时，-x>0, f（-x）=（1/2）^(-X)= 2^X.
因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x).
∴f(x)=-f(-x)=- 2^X(x<0时)
X=0时，f(-0)=-f(0), 2f(0)=0, f(0)=0.
综上知：x＞0时，f（x）=（1/2）^X.
X=0时，f（x）=0.
x<0时，f(x)= - 2^X
2.由1知：该函数的减区间是（0，+∞），（-∞，0）。
3. x＞0时，0<f（x）=（1/2）^X<（1/2）^0=1
x<0时，0>f(x)= - 2^X> - 2^0=-1,
又X=0时，f（x）=0
∴函数f(x)的值域是(-1,1).