Question

如何求收敛半径？

Answer 1

收敛半径的三种求法如下：

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足:如果幂级数满足，则:

ρ是正实数时，1/ρ。ρ = 0时，+∞。ρ =+∞时，R= 0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式:

或者。复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。 收敛半径可以被如下定理刻画:

一个中心为 a的幂级数 f的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如:函数

没有复根。它在零处的泰勒展开为:

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 f(z) 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。

收敛半径定义：

敛半径r是一个非负的实数或无穷大，使得在 | z -a| < r时幂级数收敛，在 | z -a| > r时幂级数发散。

具体来说，当 z和 a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区和发散区域的分界线。在 |z- a| = r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的:对某些 z可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。