Question

什么是偏序集？有公式吗？

Answer 1

1.什么是偏序集?
如果集合S上的一个二元关系“≤”满足：
(1)反身性
(2)反对称性
(3)传递性
那么就说这个二元关系“≤”是集合S上的一个偏序关系,
具有偏序关系“≤”的集合S记为(S,≤),叫做偏序集.
2.集合A={a,b,c}上的一个偏序关系“≤”对应A×A的一个子集P。
(1)由偏序关系“≤”反身性，知
(a,a)、(b,b)、(c,c)∈P；
(2)由偏序关系“≤”反对称性，知
(a,b)与(b,a)不能同时在P中；
(a,c)与(c,a)不能同时在P中；
(b,c)与(c,b)不能同时在P中；
(3)由偏序关系“≤”传递性，知
若(a,b)、(b,c)在P中,
则(a,c)必然也在P中；
3.构造A={a,b,c}的不同偏序关系,即A×A的子集P.
(1)P至少含有三个元素:(a,a)、(b,b)、(c,c);
----1个
(2)P还可以多含1个:
(a,b)、(b,c)、(c,a)中的一个;
或:
(b,a)、(a,c)、(c,b)中的一个;
----6个
(3)P还可以多含2个:
(a,b)与(a,c),或(b,a)与(b,c),或(c,a)与(c,b);
(b,a)与(c,a),或(a,b)与(c,b),或(a,c)与(b,c);
----6个
(4)P还可以多含3个:
(a,b)、(b,c)、(c,a)
或
(a,c)、(c,b)、(a,b)
或
(b,c)、(c,a)、(b,a)
或
(b,a)、(a,c)、(b,c)
或
(c,a)、(a,b)、(c,b)
或
(c,b)、(b,a)、(c,a)
----6个
(5)P不可以多含4个
总共1
+6
+6
+6
=19(个)
对于n元集,暂没有想出一般计算公式.