Question

为什么绝对收敛的级数收敛？

Answer 1

不知道为什么，感觉其他楼都没有在回答题主的问题。小格调990的总结挺好的，但是没有正面回答题主问题。

法一：

这是个交错级数，通常可以用莱布尼兹判别法：

（un为提取出（-1）的n或n-1次方后，剩下的恒为正的部分。n是下标。不理解的话可以百度下交错级数的定义。）

un在n趋于∞时，极限为0，且un≥u（n+1）（n与n+1是下标。），则收敛。

此处显然满足这两个条件，故收敛。

法二：

这里也可以通过证|un|的无穷级数收敛来证其绝对收敛，而绝对收敛的级数收敛，从而证其收敛。

在这里证绝对收敛，即证1/n*2^n的无穷级数收敛

用正项级数的判敛法：

1. 比较判敛法：1/n*2^n≤1/2^n，而后者的无穷级数收敛（证后者的无穷级数收敛可以用小格调提到的比式判敛法，这个一般来说是常识，不用证。），故收敛。

   （顺带一提，小格调提到的比较原则，也就是通常说的比较判敛法，有极限形式，可以百度了解一下）

2. 比式判别法：

n趋于∞时，u（n+1）/un=n/2（n+1）=1/2，故收敛。

3.根式判别法：

n趋于∞时，un的1/n次方=（1/n）的1/n次方 *1/2=1/2，故收敛。

Answer 2

因为∑|an|收敛，所以∑-|an|也收敛
又因为-|an|<=an<=|an|
所以根据级数夹逼收敛性质，∑an收敛