为什么绝对收敛的级数收敛?

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匿名用户
2023-06-20
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不知道为什么,感觉其他楼都没有在回答题主的问题。小格调990的总结挺好的,但是没有正面回答题主问题。

法一:

这是个交错级数,通常可以用莱布尼兹判别法:

(un为提取出(-1)的n或n-1次方后,剩下的恒为正的部分。n是下标。不理解的话可以百度下交错级数的定义。)

un在n趋于∞时,极限为0,且un≥u(n+1)(n与n+1是下标。),则收敛。

此处显然满足这两个条件,故收敛。


法二:

这里也可以通过证|un|的无穷级数收敛来证其绝对收敛,而绝对收敛的级数收敛,从而证其收敛。

在这里证绝对收敛,即证1/n*2^n的无穷级数收敛

用正项级数的判敛法:

  1. 比较判敛法:1/n*2^n≤1/2^n,而后者的无穷级数收敛(证后者的无穷级数收敛可以用小格调提到的比式判敛法,这个一般来说是常识,不用证。),故收敛。

    (顺带一提,小格调提到的比较原则,也就是通常说的比较判敛法,有极限形式,可以百度了解一下)

  2. 比式判别法:

n趋于∞时,u(n+1)/un=n/2(n+1)=1/2,故收敛。

3.根式判别法:

n趋于∞时,un的1/n次方=(1/n)的1/n次方 *1/2=1/2,故收敛。

crs0723
2023-07-07 · TA获得超过2.5万个赞
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因为∑|an|收敛,所以∑-|an|也收敛
又因为-|an|<=an<=|an|
所以根据级数夹逼收敛性质,∑an收敛
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