Question

求函数y=e^x-e^-x/2的反函数？

本人不够聪明啦“，所以只能麻烦知道答案的同学把答案写详细一点了，谢过～
标准答案是y=In(x+庚号下1+x^2)耶。

Answer 1

应该是“求函数y=(e^x-e^(-x))/2的反函数？”。解法如下：

∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)

∴原函数的反函数是x=±ln(y+√（1+y²))。

反函数定义

相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图象关于直线y=x对称。这是因为，如果设（a,b)是y=f(x)的图象上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点（b,a)在反函数y=f-1(x)的图象上。

反函数简介

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作x=f-1(y)。反函数x=f -1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

Answer 2

说明：此题写错了吧？应该是“求函数y=(e^x-e^(-x))/2的反函数？”。解法如下。
解：∵y=(e^x-e^(-x))/2 ==>2y=e^x-e^(-x)
==>2ye^x=e^(2x)-1
==>e^(2x)-2ye^x=1
==>e^(2x)-2ye^x+y²=1+y²
==>(e^x-y)²=1+y²
==>e^x-y=±√(1+y²)
==>e^x=y±√(1+y²)
==>x=ln│y±√(1+y²)│
==>x=±ln│y+√(1+y²)│ (∵ln│y-√(1+y²)│=-ln│y+√(1+y²)│)
==>x=±ln(y+√(1+y²)) (∵y+√(1+y²)>0)
∴原函数的反函数是 x=±ln(y+√(1+y²))。