Question

二阶非齐次线性微分方程的通解是什么？

Answer 1

通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。

解：∵y1=1, y2=x , y3=x^2是某二阶非齐次线性微分方程的三个解

∴y3-y1=x^2-1和y2-y1=x-1是对应齐次方程线性无关的两个解

则此齐次方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1) (C1,C2是常数)

∵y1=1是该方程的一个解

∴该方程的通解是y=C1(x^2-1)+C2(x-1)+1。

扩展资料：

简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。

线性微分方程的一般形式是：

其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），  是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。

参考资料：百度百科-线性微分方程

Answer 2

解:举例子，微分方程为x”-2x’-3x=1，设微分方程的特征值为p，则特征方程为p²-2p-3=0，(p+1)(p-3)=0，得:p=3或-1，特征根为e³ᵗ、e⁻ᵗ
∵方程的右式为1 ∴微分方程的特解为-1/3 ∴微分方程的通解为x=ae³ᵗ+be⁻ᵗ-1/3(a、b为任意常数)