Question

三角函数是怎么定义的？

Answer 1

[CLASSIC] 三角函数是一组在数学中常用的函数，用于描述角度和三角形之间的关系。常见的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。它们的定义如下：

1. 正弦函数（sine）：正弦函数是一个周期函数，用 sin(x) 表示，其中 x 是角度。它的定义域为所有实数，值域为 [-1, 1]。正弦函数的值等于一个直角三角形中对边与斜边的比值。

2. 余弦函数（cosine）：余弦函数也是一个周期函数，用 cos(x) 表示，其中 x 是角度。它的定义域为所有实数，值域为 [-1, 1]。余弦函数的值等于一个直角三角形中邻边与斜边的比值。

3. 正切函数（tangent）：正切函数是一个有界函数，用 tan(x) 表示，其中 x 是角度。它的定义域为所有实数，但在某些角度上会有无穷大的值。正切函数的值等于一个直角三角形中对边与邻边的比值。

这些三角函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用，用于解决与角度和三角形相关的问题，例如测量、旋转、波动等。它们具有许多重要的性质和关系，如和差公式、倍角公式、周期性等，可以通过三角恒等式进行推导和运算。

Answer 2

对一个直角三角形，三角函数是通过三角形内的边长比值来定义的。其中，正弦函数（sine）表示对边与斜边的比值，余弦函数（cosine）表示邻边与斜边的比值，正切函数（tangent）表示对边与邻边的比值。

具体来说：
- 正弦函数：在一个直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值。可以表示为 sinθ = 对边/斜边。
- 余弦函数：在一个直角三角形中，余弦函数定义为邻边与斜边的比值。可以表示为 cosθ = 邻边/斜边。
- 正切函数：在一个直角三角形中，正切函数定义为对边与邻边的比值。可以表示为 tanθ = 对边/邻边。

这些三角函数可以用来计算三角形内角度和边长之间的关系，以及在几何学、物理学和工程学等领域中的应用。