Question

y=x^3*e^-5x是常系数齐次线性微分方程的一个解,则特征根为？

Answer 1

【求解答案】λ=-5

【求解思路及方法】

根据常系数齐次线性微分方程通解的结构：

当λ为单实根，其通解对应项Cexp(λx)

当λ为单复根(λ1=α+βi，λ2=α-βi)，其通解对应项exp(αx)(C1cosβx+C2sinβx)

当λ为k个重实根，其通解对应项exp(λx)(C1+C2x+C3x²+…+Ckx^(k-1))

当λ为m个重复根(λ1=α+βi，λ2=α-βi)，其通解对应项exp(αx)((C1+C2x+C3x²+…+Cmx^(m-1))

cosβx+D1+D2x+D3x²+…+Dmx^(m-1))sinβx)

我们不难看出，该常系数齐次线性微分方程的特征根λ=-5（λ为单实根）

【本题知识点】

1、线性微分方程。

设微分方程是未知函数及其各阶导数的一次方程，就叫这个方程是线性的。n阶线性微分方程的一般形式是

其中，p1、p2、…、pn、f都是自变量x的函数。

当f﹦0，这个线性微分方程称为齐次方程

当f≠0，这个线性微分方程称为非齐次方程

2、线性微分方程解的结构。

设y1、y2是n阶齐次线性微分方程

的两个解，则

也是该方程的解，这里C1、C2为任意常数（实数或复数）

设n阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解是y*，而对应于方程（1）的n阶齐次线性微分方程（2）的通解是

则方程（1）的通解是

3、常系数齐次线性微分方程。

设二阶齐次线性微分方程为

其中，p、q为已知常数（实数）。

式（4）叫做方程（3）的特征方程。按特征方程的两个根λ1和λ2的三种可能情形：

1）λ1≠λ2时，其通解

2）λ1=α+βi，λ2=α-βi，其通解

3）λ1﹦λ2，其通解

4、常系数非齐次线性微分方程。

设二阶非齐次线性微分方程为

方程的特解：

Answer 2

对于常系数齐次线性微分方程，形如 y'' + ay' + by = 0，其中 a 和 b 是常数，特征根可以通过假设 y = e^(rt) 的形式来求解。
在这个问题中，给定的解为 y = x^3 * e^(-5x)。我们可以将这个解代入方程，然后根据特征根的定义找到满足方程的特征根。
首先，我们计算导数：
y' = (3x^2 - 5x^3) * e^(-5x)
y'' = (6x - 30x^2 + 25x^3) * e^(-5x)
将 y 和其导数代入方程，得到：
(6x - 30x^2 + 25x^3) * e^(-5x) + a * (3x^2 - 5x^3) * e^(-5x) + b * (x^3 * e^(-5x)) = 0
我们可以整理方程，将所有项合并，并提取出 e^(-5x)：
e^(-5x) * (25x^3 - 5ax^3 + bx^3 + 6x - 30x^2 + 3ax^2) = 0
由于 e^(-5x) 永远不会为零，我们可以将括号中的项等于零：
25x^3 - 5ax^3 + bx^3 + 6x - 30x^2 + 3ax^2 = 0
现在，我们可以比较对应的系数，得到以下等式：
25 - 5a + b = 0 （x^3 的系数）
3a - 30 = 0 （x^2 的系数）
6 = 0 （x 的系数）
解这个方程组，可以得到 a = 10，b = -15。因此，特征根为 r = -5 和 r = 2。

Answer 3

y = x^3*e^(-5x) 是常系数齐次线性微分方程的一个解, 则有特征根为 - 5.