y=x^3*e^-5x是常系数齐次线性微分方程的一个解,则特征根为?
【求解答案】λ=-5
【求解思路及方法】
根据常系数齐次线性微分方程通解的结构:
当λ为单实根,其通解对应项Cexp(λx)
当λ为单复根(λ1=α+βi,λ2=α-βi),其通解对应项exp(αx)(C1cosβx+C2sinβx)
当λ为k个重实根,其通解对应项exp(λx)(C1+C2x+C3x²+…+Ckx^(k-1))
当λ为m个重复根(λ1=α+βi,λ2=α-βi),其通解对应项exp(αx)((C1+C2x+C3x²+…+Cmx^(m-1))
cosβx+D1+D2x+D3x²+…+Dmx^(m-1))sinβx)
我们不难看出,该常系数齐次线性微分方程的特征根λ=-5(λ为单实根)
【本题知识点】
1、线性微分方程。
设微分方程是未知函数及其各阶导数的一次方程,就叫这个方程是线性的。n阶线性微分方程的一般形式是
其中,p1、p2、…、pn、f都是自变量x的函数。
当f﹦0,这个线性微分方程称为齐次方程
当f≠0,这个线性微分方程称为非齐次方程
2、线性微分方程解的结构。
设y1、y2是n阶齐次线性微分方程
的两个解,则
也是该方程的解,这里C1、C2为任意常数(实数或复数)
设n阶非齐次线性微分方程(1)的一个特解是y*,而对应于方程(1)的n阶齐次线性微分方程(2)的通解是
则方程(1)的通解是
3、常系数齐次线性微分方程。
设二阶齐次线性微分方程为
其中,p、q为已知常数(实数)。
式(4)叫做方程(3)的特征方程。按特征方程的两个根λ1和λ2的三种可能情形:
1)λ1≠λ2时,其通解
2)λ1=α+βi,λ2=α-βi,其通解
3)λ1﹦λ2,其通解
4、常系数非齐次线性微分方程。
设二阶非齐次线性微分方程为
方程的特解:
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在这个问题中,给定的解为 y = x^3 * e^(-5x)。我们可以将这个解代入方程,然后根据特征根的定义找到满足方程的特征根。
首先,我们计算导数:
y' = (3x^2 - 5x^3) * e^(-5x)
y'' = (6x - 30x^2 + 25x^3) * e^(-5x)
将 y 和其导数代入方程,得到:
(6x - 30x^2 + 25x^3) * e^(-5x) + a * (3x^2 - 5x^3) * e^(-5x) + b * (x^3 * e^(-5x)) = 0
我们可以整理方程,将所有项合并,并提取出 e^(-5x):
e^(-5x) * (25x^3 - 5ax^3 + bx^3 + 6x - 30x^2 + 3ax^2) = 0
由于 e^(-5x) 永远不会为零,我们可以将括号中的项等于零:
25x^3 - 5ax^3 + bx^3 + 6x - 30x^2 + 3ax^2 = 0
现在,我们可以比较对应的系数,得到以下等式:
25 - 5a + b = 0 (x^3 的系数)
3a - 30 = 0 (x^2 的系数)
6 = 0 (x 的系数)
解这个方程组,可以得到 a = 10,b = -15。因此,特征根为 r = -5 和 r = 2。