Question

【速求】高二等比数列问题

设数列{An}的前n项和为Sn,且满足S1=2,Sn+1=3Sn+2(n=1,2,3).
⑴求证：数列{Sn+1}为等比数列；
⑵设Bn=An/Sn^2,求证：B1+B2+…+Bn＜1

Answer 1

1. 公式两端分别加1 有：Sn+1 + 1 = 3( Sn + 1 ) n = 1,2,3... 所以是等比数列

2. 由上问知 {Sn+1} 是以首项为 3， 公比为 3 的等比数列，所以Sn + 1 = 3^n . 所以 Sn = 3^n - 1 . 由 An = Sn - Sn-1 得 An = 2 * 3^(n-1). 所以 Bn = 2 * 3^(n-1) / (3^n - 1)^2 = 2/3 * (3^n / (3^n - 1)^2) = 2/3 * ( ((3^n - 1) + 1) / (3^n - 1)^2 ) 展成两个分子式，有：Bn = 2/3 * ( (3^n - 1) / (3^n - 1)^2 ) + 2/3 * 1/（3^n - 1)^2, 第一个式子约去 3^n - 1 有 Bn = 2/3 * 1/(3^n - 1) + 2/3 * 1/(3^n - 1)^2 之后放缩，放缩掉分母那个减1，即把一个真分数分子分母同时加1，数值变大，故有 Bn < 2/3 * 2/3^n + 2/3 * (2/3^n)^2 = 4 / 3^(n+1) + 8 / 3^(2n+1)，所以 B1+B2+...+Bn < 4/9 / (1 - 1/3) + 8/27 / (1-1/9) = 2/3 + 1/3 = 1.