Question

一道数列题，高分求解

数列an满足a(n+2) = [a²（n+1）-1] / an,其中a1=1,a2=2
(1)求数列an的通项公式
（2）若数列bn为首项是1，公比是q的等比数列。设Tn=a1b1+a2b2+……+anbn
证明：存在实数a,使得Tn＜a恒成立的充要条件是q∈（-1,0）U（0，1）

高等数学知识勿用，这是高三考试的大题！
嗨嗨，二楼回答这么多我很感谢，但是现在我也做到这一步了。接下来怎么做，还请各位高手不吝指点
抱歉，三楼。极限的知识是无法得到Tn趋向无穷大的结论的，无穷大减去无穷大不一定等于无穷大，这点不知道您考虑到没有。还有，就是我自己是知道高等数学的解法的，所以是不是用了，我是看的出来的。

Answer 1

①充分性证明：
计Bn=b1+b2+...+bn
当q∈（-1,0）U（0，1）时，存在b,使Bn<b
1>q>0时:
Tn=1*b1+2*b2+3*b3+...+n*bn
<(b1+b2+...+bn)+(b2+b3+...+bn+1)+...+[bn+b(n+1)+...b(2n-1)] 放大Tn
= (1+q+...+q^(n-1))*Bn
= Bn^2/b1 = Bn^2 < b^2
-1<q<0时:
Tn<=1*|b1|+2*|b2|+3*|b3|+...+n*|bn| < b^2 (利用1>q>0的推导结果）
所以：当|q|<1时，存在a=b^2,使Tn<a恒成立 (1)
②必要性证明（用反证法）：
当q=1时，Tn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2,lim Tn = ∞(这个你自己换个合适的说法吧）
当q=-1时，T(2n+1)=1+(-2+3)+(-4+5)+...+(-2n+(2n+1))=n+1,lim T(2n+1)= ∞
当|q|>1,
记：c(n)=a(2n)*b(2n)+a(2n+1)*b(2n+1)=q^2(n-1)*[2n(q^2+q)+q^2]>1
T(2n+1)=1+c1+c2+...+cn > 1+n,lim T(2n+1)= ∞
所以：要使存在实数a,使得Tn＜a恒成立，|q|<1 (2)

综合（1）、（2）:存在实数a,使得Tn＜a恒成立的充要条件是q∈（-1,0）U（0，1）

Answer 2

An=X

Answer 3

1)
a1=1

a2=2

a3=...=3

a4=...=4

a5=...=5

a6=...=6

猜想an=n

数学归纳法证明
n=1时a1=1成立
假设n=k时成立
Ak=(A(k-1)^2-1)/A(k-2)
即
k=[(k-1)^2-1]/(k-2)

n=k+1时
A(k+1)=k+1
[A(k)^2-1]/A(k-1)=(k^2-1)/(k-1)=k+1=A(k+1)

证明完毕

An=n

2)
如果q=1，Bn=1,Tn=1+2+...+n=n*(n+1)/2
不存在a

q不等于1
Tn=1*b1+2*b2+...+(n-1)*b(n-1)+n*bn
qTn= 1*b2+...+(n-1)*bn+n*b(n+1)
(1-q)Tn=b1+b2+...+bn-n*b(n+1)
=1+q+q^2+...+q^n-n*q^(n+1)
(1-q)Tn=(1-q^n)/(1-q)-n*q^(n+1)

Tn=...(1-q^n)/(1-q^2)-n*q^(n+1)/(1-q)

Answer 4

既然你前面都能做了，我就接着补充提示一下吧，你一定能自己去解决的。
1.第二问还要讨论q=-1的情况, 才能讨论一般情况.
2.Tn＜a恒成立,就是要Tn有最大值(准确地说是上界),但是当q的绝对值大于1时
Tn无上界(高三了应该学了极限和导数吧),如果你能理解这一点的话,就能继续下去了.你先试试看.
3.要注意充要条件证明的完整性.