Question

一道圆的题

Answer 1

证明:(1)连接I1A2和I1A3,
∵I1是△A1A2A3的内心,
∴∠A2I1A3=90°+1/2∠A2A1A3,
同理,I2是△A4A2A3的内心,
∴∠A2I2A3=90°+1/2∠A2A4A3,
又∵同弧所对的圆周角相等,
∴∠A2A1A3=∠A2A4A3
∴∠A2I1A3=∠A2I2A3
故A2、I1、I2、A3四点共圆.
(2)连接I1A2和I2A3,I3A4,
由(1)知A2、I1、I2、A3四点共圆.
∴∠I1A2A3+∠I1I2A3=180°
同理可证,A3、I2、I3、A4四点共圆.
∴∠I3A4A3+∠I3I2A3=180°
又∵∠I1I2A3+∠I3I2A3=360°-∠I1I2I3,
∴∠I1I2I3=∠I1A2A3+∠I3A4A3
=1/2∠A1A2A3+1/2∠A1A4A3
=1/2(∠A1A2A3+∠A1A4A3)
=1/2*180°
=90°.

Answer 2

链接A2I1,A2I2,A3I1,A3I2,A3I3,A4I2,A4I3

以下 所有字母串都是表示角度。 如 A2I1A3表示 角A2I1A3

A2I1A3=A2A1A3+1/2(A1A2A3+A1A3A2)=90度+1/2A2A1A3,
同理：
A2I2A3=90度+1/2A2A4A3,
因为A1,A2,A3,A4 共圆， 所以 A2A4A3=A2A1A3，
所以 A2I1A3=A2I2A3， A2,I1,I2,A3 同圆。

I1I2A3 = I1I2A2 +A2I2A3 =
= I1A3A2 + 90度+1/2A2A1A3
=90度+1/2（A1A3A2+A2A1A3）
= 180度-1/2A1A2A3)

同理

I3I2A3 = 180度-1/2A1A4A3)

所以 I1I2I3 = 360度 - I1I2A3 - I3I2A3
= 1/2（A1A2A3+A1A4A3） = 90度 因为 A1 A2 A3 A4共圆。

Answer 3

链接A2I1,A2I2,A3I1,A3I2,A3I3,A4I2,A4I3

以下 所有字母串都是表示角度。 如 A2I1A3表示 角A2I1A3

A2I1A3=A2A1A3+1/2(A1A2A3+A1A3A2)=90度+1/2A2A1A3,
同理：
A2I2A3=90度+1/2A2A4A3,
因为A1,A2,A3,A4 共圆， 所以 A2A4A3=A2A1A3，
所以 A2I1A3=A2I2A3， A2,I1,I2,A3 同圆。

I1I2A3 = I1I2A2 +A2I2A3 =
= I1A3A2 + 90度+1/2A2A1A3
=90度+1/2（A1A3A2+A2A1A3）
= 180度-1/2A1A2A3)

同理

I3I2A3 = 180度-1/2A1A4A3)

所以 I1I2I3 = 360度 - I1I2A3 - I3I2A3
= 1/2（A1A2A3+A1A4A3） = 90度 因为 A1 A2 A3 A4共圆。
就这样

Answer 4

链接A2I1,A2I2,A3I1,A3I2,A3I3,A4I2,A4I3

Answer 5

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Answer 6

设圆半径为1.
A1坐标(x1,y1)
A2坐标(x2,y2)
A3坐标(x3,y3)
A4坐标(x4,y4)
I1=(a1,b1)
I2=(a2,b2)
I3=(a3,b3)
I4=(a4,b4)
所以
I1=({根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]x3+根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]x2+根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]x1}/{根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]},({根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]y3+根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]y2+根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]y1}/{根号[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]+根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]})

I2=({根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]x4+根号[(x4-x2)^2+(y4-y2)^2]}x3+根号[(x3-x4)^2+(y3-y4)^2]x2}/{根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]+根号[(x4-x2)^2+(y4-y2)^2]}+根号[(x3-x4)^2+(y3-y4)^2]},{根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]y4+根号[(x4-x2)^2+(y4-y2)^2]}y3+根号[(x3-x4)^2+(y3-y4)^2]y2}/{根号[(x2-x3)^2+(y2-y3)^2]+根号[(x4-x2)^2+(y4-y2)^2]}+根号[(x3-x4)^2+(y3-y4)^2]})
I3=(({根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]x4+根号[(x4-x3)^2+(y4-y3)^2]}x1+根号[(x1-x4)^2+(y1-y4)^2]x3}/{根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+根号[(x4-x3)^2+(y4-y3)^2]}+根号[(x1-x4)^2+(y1-y4)^2]},{根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]y4+根号[(x4-x3)^2+(y4-y3)^2]}y1+根号[(x1-x4)^2+(y1-y4)^2]y3}/{根号[(x1-x3)^2+(y1-y3)^2]+根号[(x4-x1)^2+(y4-y1)^2]}+根号[(x3-x4)^2+(y3-y4)^2]})
)
(I3-I2)(I1-I2)=0
所以角I1I2I3=90度
设存在这样的圆0(c,d) 使得I1I2A2在这个圆上。令0I1=0I2=0A2（因为一个3角形有且只有一个外接圆） 经过验证OA3=OI1
即圆0是这个四边行的外接圆
所以A2A3I1I2四点共圆