Question

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(根号3，cosA+1),n=(sinA,-1),且m垂直n. 1)求角A的大小

在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(根号3，cosA+1),n=(sinA,-1),且m垂直n.
1)求角A的大小
2)若a=2,cosB=根号3除以3，求b的值

Answer 1

(1)根据m垂直n可得到：
√3sinA-cosA-1=0
所以：
√3sinA-cosA=1
(√3/2)sinA-(1/2)cosA=1/2
sinAcos30-cosAsin30=1/2
sin（A-30)=1/2
所以：
A-30=30
A=60度。

（2）cosB=√3/3,所以：
sinB=√6/3;
应用正弦定理可得到：
b/sinB=a/sinA
b=asinB/sinA
=2*(√6/3)/(√3/2)
=4√2/3.

Answer 2

m垂直n，所以m·n=0
m·n=根号3 sinA+(cosA+1)*(-1)
=2(sinAcos30-cosAsin30)-1
=2sin(A-30)-1
=0
即2sin(A-30)=1,sin(A-30)=1/2.
那么A-30=30或A-30=150
即A=60或A=180.(不符合,舍)
所以,角A=60度.

(2)
cosB=根号3/3,那么sinB=根号[1-(根号3/3)^2]=根号6/3.
正弦定理得:
a/sinA=b/sinB
b=asinB/sinA=2*[ 根号6/3]/(根号3/2)=(4根号2)/3

Answer 3

解： ∵A,B,C是△ABC的三个角
∴0<A/2<π/2,0<B<π.........(1)
1）∵向量m=(√3，cosA+1),n=(sinA,-1),且m垂直n
∴向量m与向量n的数量积=0
即√3*sinA+(-1)*(cosA+1)=0
==>√3sinA-(cosA+1)=0
==>2√3sin(A/2)*cos(A/2)-2cos²(A/2)=0
==>cos(A/2)[√3sin(A/2)-cos(A/2)]=0
==>√3sin(A/2)-cos(A/2)=0 （∵cos(A/2)≠0）
==>√3sin(A/2)=cos(A/2)
==>√3sin(A/2)/cos(A/2)=1
==>tan(A/2)=1/√3
==>A/2=π/6
==>A=π/3
故角A是π/3；
2）∵cosB=√3/3
∴sinB=√(1-cos²B)=√2/√3
∵a=2，A=π/3
∴由正弦定理 a/sinA=b/sinB
得 2/(√3/2)=b/(√2/√3)
==>b=2(√2/√3)/(√3/2)
==>b=4√2/3
故b的值是4√2/3。