Question

一个高代的考研题目求高手作下 A,B均为n阶方阵，A+B可逆。证明：A（A+B)^-1B=B(A+B)^-1A

(A+B)^-1是A+B的逆

Answer 1

令K=(A+B)^-1
则A（A+B)^-1B=B(A+B)^-1A化简为：
AKB=BKA
由于（A+B）K=K(A+B)=E（单位矩阵）
所以AK+BK=E，KA+KB=E
若AKB=BKA，则（E-BK）B=BKA，
则B-BKB=BKA，则B=B(KA+KB)=B,这显然成立，倒推回去即可得证