Question

两道几何题

如图，在△EBD中，EB=ED，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC。试判断△ABC的形状，并证明。

已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点。
（1）如图，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF。求证：△DEF为等腰直角三角形。
（2）若E,F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？请证明结论。

图片见空间相册~~~

Answer 1

等边三角形
证明：
在RT△BEA和RT△BEC中：
∵EA=EC，BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°
∴RT△BEA≌RT△BEC(边角边)
∴BA=BC
在△BED中：∵BE=ED，∴∠EBD=∠EDB ....①
在△ECD中：∵CE=CD，∴∠CED=∠CDE ....②
∠BCE=∠CED+∠CDE(三角形外角等于不相邻的两个内角和)....③
在RT△BEC中：∠EBC+∠ECB=90° ....④
由①②③斯可知：3∠EBC=90°，即∠EBC=30°
∴∠BCA=60°
在等腰△ABC中：∵有一个内角为60°，∴△ABC为等边三角形

证明：连接AD
∵AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形
∴AD⊥BC，且AD=BD，∠DAC=45°
在△BDE和△BAF中：
∵BD=AD，BE=AF，∠DBE=∠DAF=45°
∴△BDE≌△BAF(边角边)
∴∠BDE=∠ADF，DE=DF
由∠BDE=∠ADF可知，∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE，即∠ADB=∠EDF
又∵AB⊥BC
∴∠ADB=90°
∴∠EDF=90°
又∵DE=DF
∴△DEF为等腰直角三角形

仍是等腰直角三角形
证明：
∵△ABC为直角三角形，D为BC中点
∴AD=DC，∠FCD=∠EAD=45°
∵AF=BE
∴CF=AE
在△CFD和△AED中：
∵CD=AD，∠FCD=∠EAD=45°，CF=AB
∴△CFD≌△AED(边角边)
∴∠FDC=∠EDA，且DF=DE
即∠FDA+∠ADC=∠FDE+∠FDA
∴∠FDE=∠ADC=90°
∴△DEF为等腰直角三角形

Answer 2

(1)正三角形
由于EB=ED -->∠EBC=∠EDC 又CE=CD -->∠CED=∠EDC
-->∠EBC=∠EDC=∠CED
-->∠EBC+∠EDC+∠CED+∠BEC=180 -->∠EBC=30
又EC=AE，BE=BE，∠BEC=∠BEA=90 --》ΔBEC≌ΔBEA -->BC=AB
且∠EBC=∠EBA-->∠CAB=30+30=60 ,BC=AB
-->△ABC为正三角形
(2)1.连接AD则易得AD=BD 又BE=AF 且∠DAF=∠DBE=45 -->
ΔDAF≌ΔDBE-->DE=DF ∠EDB=∠FDA
又∠EDF+∠EDA=90 --〉∠FDA+∠EDA=90=∠EDF
-->△DEF为等腰直角三角形
2.同样可得ΔDAF≌ΔDBE 连步骤都不要改

Answer 3

第一题：E是AC中点，BE⊥CA,BE就是AC的垂直平分线，所以BA=BC.即△ABC是等腰三角形
第二题：（1）依题意可知BD=DA=CD,BE=AF,∠EBD=∠FAD=45°，所以△DEB≌△DFA
从而DE=DF,∠ADF=∠BDE,又由AB=AC，BE=AF，可得AE=CF,同理△AED≌CFD,
则 ∠ ADE=∠CDF,又,∠ADF+∠BDE+∠ ADE+∠CDF=2∠EDF=180°
所以∠EDF=90°。因此：△DEF为等腰直角三角形。
（2）BD=AD,BE=AF,∠DAF=∠DBE=135°，所以△BDE≌△ADF,所以DE=DF
且∠ADF=∠BDE,所以∠FDE=90°（相当于∠ADB旋转了∠ADF度数）
因此：△DEF为等腰直角三角形。