Question

求高中数列数学题~

数列bn=1/(n^2)+1 前n项和为Tn， 求证：对于任意正整数n 都有 Tn<1

Answer 1

解：当n=1时，Tn=bn=1/2<1
当n≥2时
由1/（n^2+1）＜1/n^2＜1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
反复运用
得Tn=1/2+1/5+……+1/（n^2+1)
＜1/2+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+（1/（n-1）-1/n）
=1-1/n
＜1
综上所述，Tn<1

Answer 2

当n≥2时，1/（n^2+1）＜1/n^2＜1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
∴Tn=1/2+1/5+……+1/（n^2+1)
＜1/2+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+（1/（n-1）-1/n）
=1-1/n
＜1