Question

数学问题，高手进

已知f(x)=(1+cosx-sinx）/（1-sinx-cosx)+(1-cosx-sinx）/（1-sinx+cosx)且x≠2kπ+π/2（k∈Z）。
(1)化简f(x)
(2)是否存在x,使得tan（x/2）*f(x)与[1+tan^2（x/2）]/sinx相等？若存在，求x的值;若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
（1）化简
通分可得
f(x)＝[(1+cosx-sinx）²＋(1-cosx-sinx）²]/[（1-sinx）-cosx][（1- sinx）+cosx]
＝[1＋cos²x＋sin²x－2cosxsinx＋2（cosx-sinx）＋1＋cos²x＋sin²x＋2cosxsinx－2（cosx＋sinx）]／（1-sinx）²-cos²x
＝4（1－sinx）／（1＋sin²x－2sinx－cos²x）
＝4（1－sinx）／（sin²x＋cos²x＋sin²x－2sinx－cos²x）
＝4（1－sinx）／2sinx（sinx－1）
＝－2／sinx x≠2kπ+π/2（k∈Z）
（2）假设存在，则tan（x/2）*f(x)＝[1+tan²（x/2）]/sinx
即tan（x/2）*（－2／sinx）＝[1+tan²（x/2）]/sinx
可得
[1+tan（x/2）]²＝0
所以
tan（x/2）＝－1
所以
x/2＝kπ－π／4
则 x＝2kπ－π／2 （k∈Z）
所以存在